C'est au début de l'année 1994, à Reykjavík, que trois jeunes islandais d'une vingtaine d'années, Jón Þór Birgisson dit Jónsi (chant, guitare, claviers), Georg Hólm (basse, glockenspiel, piano) et Ágúst Ævar Gunnarsson (batterie, percussions), décident de former un groupe. En choisissant de s'appeler Sigur Rós, le tout jeune trio tient à rendre hommage à la petite soeur de Jónsi, Sigurros (« Rose de la victoire »), née une semaine auparavant.
Fan d'Iron Maiden, aveugle d'un oeil, Jónsi est assurément le plus actif des trois. Plutôt doué à la guitare, il prend également le poste de chanteur, Georg Hólm se chargeant de la basse et Ágúst Gunnarsson de la batterie. Le premier morceau du groupe, « Fljúgðu » (« Voler ») est enregistré en six heures de temps. Ce morceau de pop rêveuse pose les jalons d'un style à venir - voix planquée derrière une montagne d'effets de guitare, ambiance éthérée et planante - et semble suffisamment correct à ses auteurs pour continuer l'aventure. Il paraît cette même année sur la compilation du label des ex-Sugarcubes, Smekkleysa (ou Bad Taste, dans sa version anglaise) célébrant les 50 ans de l'indépendance de l'Islande.
L'enregistrement de leur premier album, Von (« Espoir »), est particulièrement long, obligeant le groupe à repeindre les murs du studio pour en payer, en partie, la location. C'est durant ces quelques mois d'enregistrement, répartis tout au long de l'année 1996, qu'il trouve son identité musicale, sculptant le son jusqu'à littéralement transformer les compositions. Un peu effrayé par le résultat et en partie déçu, le groupe le publie en 1997, sur le label local Bad Taste. Pourtant, Sigur Rós tient là l'étrange formule qui fera la magie de ses albums suivants : une sorte d'ambient cinématographique, en grande partie instrumentale mais où le falsetto caractéristique de Jón fait déjà quelques apparitions, noyé sous des strates de sons étranges - en règle générale des guitares trafiquées à l'extrême, jouées à l'archet par Jónsi.
Quelques mois après, un album de remixes, intitulé Von Brigði, est publié, presque en réaction. La traduction française du titre de cet album parle ainsi d'elle même : « Déception ». Difficile d'être plus explicite. Sur cet album de remixes, quelques artistes islandais s'amusent ainsi à démonter Von, des membres de Gus Gus ou de Múm notamment. Le succès futur du groupe donnera une seconde vie à Von, peut-être l'album le plus expérimental de Sigur Rós. En attendant, il trouve dans son pays d'origine une oreille attentive, le single « Leit Af Lifi » obtenant un certain succès. Sigur Rós est dès lors l'un des gros espoirs de la scène musicale locale.
Rejoint par Kjartan Sveinsson aux claviers, Sigur Rós commence l'enregistrement de son deuxième album, Ágætis Byrjun (« Un bon début »), dans le courant de l'été 1998 à Reykjavík, dans le studio Sasyrland. Sous la houlette de Ken Thomas, producteur déjà repéré derrière les Sugarcubes de Björk, le groupe commence par enregistrer le morceau-titre de l'album, qui trouve son appellation lorsqu'un ami de Jónsi, venu écouter la nouvelle composition, déclare d'elle qu'elle est « un bon début ».
Dés sa sortie, en juin 1999, Ágætis Byrjun est acclamé comme une réussite majeure, totalement maîtrisée de bout en bout. Il reste de nombreux mois en tête des charts nationaux et ce malgré un parti-pris esthétique radical. En effet, avec des morceaux dépassant parfois les dix minutes (l'album culmine à plus de 70 minutes), chanté dans une langue inventée par Jónsi, le vonlenska, et émaillé de quelques pirouettes expérimentales étonnantes pour de si jeunes musiciens - l'intro de l'album est par exemple un passage du morceau « Ágætis Byrjun », mais passé à l'envers -, cet album n'était pas a priori taillé pour les charts.
Le groupe est rapidement repéré par le label anglais Fat Cat Records, qui décide d'exporter sa musique en Grande-Bretagne, puis en Europe. Précédé par deux EP (Svefn-G-Englar et Ny Batterí) et quelques concerts-événements en première partie des Canadiens de Godspeed You! Black Emperor, Ágætis Byrjun est publié en Europe en août 2000 avec les mêmes louanges que dans son pays d'origine. Au même moment, le groupe participe à la bande originale du film islandais Englar Alheimsins (Angels of the Universe) et publie avec l'ami poète Steindór Andersen un EP de 6 titres intitulé Rímur.
Après le départ d'Ágúst Ævar Gunnarsson, parti reprendre sa carrière de graphiste et son remplacement par Orri Páll Dýrason, une bonne majorité de l'année 2000 est passée à parcourir l'Europe. Accompagné du quatuor à cordes féminin Amiina, les musiciens prennent l'habitude de jouer derrière un grand rideau blanc sur lequel se projettent leurs ombres, donnant à leur prestations des allures fantomatiques. Les derniers mois de cette année-là, Sigur Rós tourne en première partie européenne des Anglais de Radiohead. Thom Yorke, le chanteur, auquel Jónsi est souvent comparé, les prend sous son aile et aide beaucoup à la reconnaissance internationale du groupe, notamment aux États Unis.
Au début de l'année 2001, Sigur Rós prend quelques mois de pause pour construire son propre studio, Sundlaugin, dans une piscine désaffectée d'Álafoss, dans la banlieue de Reykjavík, et commencer à travailler sur son troisième album. Ce laps de temps sert également pour signer avec le label MCA aux États Unis, après une foire d'empoigne impressionnante. Le fait que ce label ait garanti au groupe une liberté artistique totale a beaucoup joué en sa faveur.
Après cette signature et la publication officielle d'Ágætis Byrjun aux États Unis, Sigur Rós pose enfin, et pour la première fois, ses instruments sur le continent américain, le temps d'une poignée de concerts dont notamment une prestation très remarquée au gigantesque festival californien de Coachella (28 avril). Le groupe y retournera ensuite sans cesse à partir de cette date, développant une relation privilégiée avec le public américain.
Année de tous les succès, 2001 se clôture en beauté lorsque Ágætis Byrjun remporte le Shortlist Music Prize aux États Unis et l'étonnant prix du meilleur album du siècle dans son pays d'origine. En fin d'année, la présence de trois titres d'Ágætis Byrjun au générique du film Vanilla Sky de Cameron Crowe est une nouvelle source de satisfaction.
L'année 2002 est consacrée à la finalisation du troisième album ( ) en compagnie d'Amiina et du producteur Ken Thomas, ainsi qu'à l'enregistrement de la bande originale du documentaire islandais Hlemmur. Le groupe en profite également pour écrire et interpréter sur scène Hrafnagaldur Óðins (Odin's Raven Magic), une oeuvre pour orchestre de 60 musiciens inspirée par la légende islandaise du Corbeau d'Odin. Elle est jouée pour la première fois au Barbican Center de Londres le 24 mai 2002, puis les mois suivants dans de nombreuses villes autour du globe.
La sortie en octobre de ( ) confirme en tous points les hautes exigences artistiques de Sigur Rós. En effet, ( ) comprend huit chansons sans titres, déjà éprouvées sur scène lors de la longue tournée suivant la sortie d'Ágætis Byrjun. Un silence de trente secondes sépare cet album en deux parties, l'une « lumineuse et optimiste », l'autre « morne et mélancolique », selon les dires de Jónsi à sa sortie. Cet album pousse à son paroxysme la singularité du groupe et son désir de ne pas se compromettre, au point de rendre inintelligible l'ensemble de sa communication (pas de paroles, pas de titres, pas de crédits ni d'explication sur la pochette de l'album). Cette démarche extrême, à la limite de la paranoïa, n'empêche pas l'album de s'aventurer jusqu'à la 52ème place du Billboard américain avec la bénédiction des critiques, ni de se vendre correctement dans le reste du monde.
Sigur Rós présente son album sur scène, un peu partout dans le monde, dès sa sortie et jusqu'à l'été 2003 devant un public de plus en plus nombreux. Après une pause bien méritée, il participe, avec Radiohead au projet Split Sides du chorégraphe américain Merce Cunnigham : le 14 octobre, à la Brooklyn Academy of Music, les deux groupes amis joueront ainsi live, l'un après l'autre, pendant que des danseurs improvisent leurs mouvements. Les trois morceaux joués lors de cette soirée paraissent en mars 2004 sur l'EP Ba Ba Ti Ki Di Do.
Parmi les projets parallèles qui occupent le groupe durant la longue période de gestation de leur quatrième album Takk... - qui s'étale sur plus de vingt mois -, on retient également l'enregistrement de l'album In a Safe Place de The Album Leaf (nom sous lequel officie Jimmy LaValle), effectué à Sundlaugin sous la houlette des Islandais, et l'enregistrement de nouveaux morceaux pour la bande originale du court-métrage écossais He Loch Ness Kelpie. Chaque membre du groupe en profite également pour développer dans son coin ses propres activités musicales. L'année 2004 se déroulera ainsi, au fil de ces projets annexes. Tout le monde se retrouvera finalement en décembre au studio, toujours en compagnie d'Amiina et du producteur Ken Thomas, pour enregistrer un quatrième album, Takk... (« Merci... »).
Décrit par Jónsi comme étant un album de « rock'n'roll », Takk..., qui est publié par EMI en septembre 2005, est effectivement un grand pas en avant pour le groupe, bien décidé à laisser de côté les parenthèses fuyantes de son album précédent. Plus pop, très orchestré, avec une bonne partie des paroles chantées en islandais (et donc traduisibles), Takk... n'en reste pas moins marqué au fer rouge par l'identité Sigur Rós. Il devient le plus grand succès du groupe, entrant respectivement à la 16ème et 27ème place des charts britannique et américain. De juillet 2005 à août 2006, le groupe tourne inlassablement dans les plus grandes salles du globe.
À la fin de sa tournée, Sigur Rós donne une série de concerts surprise dans divers endroits d'Islande, dont quelques uns en pleine nature. La gestation de cette performance et l'intégralité des concerts sont filmés et donneront lieu à un film-documentaire de deux heures, Heima, publié en DVD l'année suivante. Profitant de la promotion du film, le groupe se produit dans des salles de cinéma, en formation acoustique, avant la diffusion du film, et ce pendant toute la deuxième moitié de l'année 2007.
Parallèlement à la sortie du film, un double EP intitulé Hvarf-Heim est enregistré. Il est publié le 5 novembre 2007. Le premier disque, Hvarf, collecte des inédits enregistrés spécialement pour l'occasion et le deuxième, Heim, des versions acoustiques de quelques-uns des grands succès passés.
Contrairement à ses habitudes et visiblement galvanisé par sa tournée en acoustique, le groupe rentre en studio début 2008 pour écrire et enregistrer en quelques mois le successeur de Takk.... Intitulé Með Suð í Eyrum Við Spilum Endalaust (« Avec un bourdonnement dans les oreilles, nous jouons sans fin »), ce cinquième album poursuit l'ouverture commencée avec Takk.... Premier album à être en partie enregistré hors d'Islande (à New York, Londres et La Havane) et à proposer une chanson chantée en anglais par Jónsi, il est co-produit par Flood (New Order, Depeche Mode, Nine Inch Nails...) et paraît le 23 juin 2008.
Début juin, le groupe entame une nouvelle tournée mondiale qui commence logiquement en Islande par un concert commun avec Björk pour protester contre les méfaits de l'industrie sur l'environnement de leur pays. Le 17 novembre 2008, une nouvelle édition du dernier album inclut un livret de 200 photographies, un DVD retraçant la sortie de l'album et les répétitions de la tournée, et un mini-documentaire filmé en 16mm sur le tournage du clip de « Gobbledigook ».
En novembre 2011, Sigur Rós livre le résultat d'une grande tournée à travers son premier album live Inni, enregistré à l'Alexandra Palace de Londres. Le disque accompagné d'un DVD pioche dans les cinq albums réalisés par le groupe, notamment dans le dernier en date Með Suð í Eyrum Við Spilum Endalaust, et livre le titre inédit « Lúppulagið ». Après une parenthèse solo de Jónsi, le groupe se retrouve en studio pour l'enregistrement de son nouvel album avec Alex Sommers. Sur Valtari, dévoilé en mai 2012, les longues plages atmosphériques chères à Sigur Rós cèdent du terrain à quelques instrumentaux dans la lignée épurée du groupe.
En 2012, Sigur Rós revient à sa configuration d'origine après le départ du claviériste Kjartan Svensson. C'est donc en trio que la groupe s'attelle à l'enregistrement de Kveikur, un sixième album paru l'année suivante, explorant un aspect plus sauvage de son post-rock. La formation apparaît ensuite dans un épisode de la série télévisée Game of Thrones intitulé The Lion and the Rose et pour lequel il reprend le titre « The Rains of Castamere » de The National. C'est sur un tout autre projet cinématographique que l'on retrouve trois membres du groupe, les frères Georg et Kjartan Hólm et Orri Páll Dýrason. Accompagnés par Hilmar Örn Hilmarsson, les musiciens réalisent la musique du documentaire de la BBC The Show of Shows qui a pour thème l'univers du cirque et des carnavals. L'album onirique qui en découle, intitulé Circe, paraît en septembre 2015.
